笔下文学

第五章 欧拉的主要研究成果（第2页）

故只需证2Rr=IA·DB，即2R∶DB=IA∶r即可．

而这个比例式可由⊿AFI∽⊿EBD证得．故得R2-d2=2Rr，即证．

拓扑学里的欧拉公式

V+F-E=X（P），V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数，X（P）是多面体P的欧拉示性数。

如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀成一个球面），那么X（P）=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X（P）=2-2h。

X（P）叫做P的拓扑不变量，是拓扑学研究的范围。

经济学中的"欧拉定理"

在西方经济学里，产量和生产要素L、K的关系表述为Q＝Q（L，K），如果具体的函数形式是一次齐次的，那么就有：Q＝L（eQeL）＋K（eQeK），换句话说，产品分配净尽取决于Q能否表示为一个一次齐次函数形式。

因为eQeL＝MPL＝wP被视为劳动对产量的贡献，eQeK＝MPK＝rP被视为资本对产量的贡献，因此，此式被解释为"产品分配净尽定理"，也就是所有产品都被所有的要素恰好分配完而没有剩余。因为形式上符合数学欧拉定理，所以称为欧拉定理。

【同余理论中的"欧拉定理"】

设a，m∈N，（a，m）=1，则a^（f（m））≡1（modm）

（注:f（m）指模m的简系个数）

复变函数论里的欧拉公式

定理内容

e^ix=x

e是自然对数的底，i是虚数单位。

它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。

将公式里的x换成-x，得到：

e^-ix=x，然后采用两式相加减的方法得到：

sinx=（e^ix-e^-ix）（2i），cosx=（e^ix+e^-ix）2。

这两个也叫做欧拉公式。

"上帝创造的公式"

将e^ix=x中的x取作π就得到：

e^iπ+1=0。

这个等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。数学家们评价它是"上帝创造的公式"，我们只能看它而不能理解它。

意义

（1）数学规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律

（2）思想方法创新：定理发现证明过程中，观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸；方法上将底面剪掉，化为平面图形（立体图→平面拉开图）。

（3）引入拓扑学：从立体图到拉开图，各面的形状、长度、距离、面积等与度量有关的量发生了变化，而顶点数，面数，棱数等不变。

定理引导我们进入一个新几何学领域：拓扑学。我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料（如橡皮波）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。

（4）提出多面体分类方法：

在欧拉公式中，f（p）=V+F-E叫做欧拉示性数。欧拉定理告诉我们，简单多面体f（p）=2。

除简单多面体外，还有非简单多面体。例如，将长方体挖去一个洞，连结底面相应顶点得到的多面体。它的表面不能经过连续变形变为一个球面，而能变为一个环面。其欧拉示性数f（p）=16+16-32=0，即带一个洞的多面体的欧拉示性数为0。

（5）利用欧拉定理可解决一些实际问题

如：为什么正多面体只有5种？足球与C60的关系？否有棱数为7的正多面体？等

V+F-E=2的证明

方法1：（利用几何画板）

逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E

先以简单的四面体ABCD为例分析证法。

去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变。因此，要研究V、E和F关系，只需去掉一个面变为平面图形，证V+F1-E=1