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二 欧拉常数（第1页）

二欧拉常数

欧拉常数最先由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler）在1735年发表的文章DeProgressionibusharmoiones中定义。欧拉曾经使用C作为它的符号，并计算出了它的前6位小数。1761年他又将该值计算到了16位小数。

欧拉常数的计算公式

欧拉常数（Euler-Masit）

欧拉-马歇罗尼常数（Euler-Masit）是一个主要应用于数论的数学常数。它的定义是调和级数与自然对数的差值。

学过高等数学的人都知道，调和级数S=1+12+13+……是发散的，证明如下：

由于ln（1+1n）ln（1+1）+ln（1+12）+ln（1+13）+…+ln（1+1n）

=ln2+ln（32）+ln（43）+…+ln[（n+1）n]

=ln[2*32*43*…*（n+1）n]=ln（n+1）

由于

limSn（n→∞）≥limln（n+1）（n→∞）=+∞

所以Sn的极限不存在，调和级数发散。

但极限S=lim[1+12+13+…+1n-ln（n）]（n→∞）却存在，因为

Sn=1+12+13+…+1n-ln（n）ln（1+1）+ln（1+12）+ln（1+13）+…+ln（1+1n）-ln（n）

=ln（n+1）-ln（n）=ln（1+1n）

由于

limSn（n→∞）≥limln（1+1n）（n→∞）=0

因此Sn有下界

而

Sn-S（n+1）=1+12+13+…+1n-ln（n）-[1+12+13+…+1（n+1）-ln（n+1）]

=ln（n+1）-ln（n）-1（n+1）=ln（1+1n）-1（n+1）

将ln（1+1n）展开，取其前两项，由于舍弃的项之和大于0，故