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二 对微积分学和代数学的贡献（第1页）

二对微积分学和代数学的贡献

1。对微积分学和代数学介绍

微积分学的简介

极限思想

极限的思想方法可追溯到古代，3世纪，中国数学家刘徽创立的割圆术用圆内接正九十六边形的面积近似代替圆面积，求出圆周率π的近似值3。141024，并指出："割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆合体而无所失矣"。刘徽对面积的深刻认识和他的割圆术方法，正是极限思想的具体体现。数列极限是函数极限的基础，一个数列an如果当n无限增大时，an与某一实数无限接近，就称之为收敛数列，a为数列的极限，记作例如，数列的极限为0。

微分学

微分学的基本概念是导数。导数是从速度问题和切线问题抽象出来的数学概念。牛顿从苹果下落时越落越快的现象受到启发，希望用数学工具来刻画这一事实。若用s＝s（t）表示物体的运动规律，即物体运动中所走路程s与时间t的关系，那么物体在t＝t0时的瞬时速度为v（t0）=

，并记v（t0）＝s′（t0），并称之为路程s关于时间t的导数或变化率，也可记v（t0）＝（）｜t=t0。而物体运动的加速度a（t）＝v′（t）＝s″（t）＝（）。导数作为一个数学工具无论在理论上还是实际应用中，都起着基础而重要的作用。例如在求极大、极小值问题中的应用。

积分学

积分学的基本概念是一元函数的不定积分和定积分。主要内容包括积分的性质、计算，以及在理论和实际中的应用。不定积分概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的。如果对每一x∈I，有f（x）＝F′（x），则称F（x）为f（x）的一个原函数，f（x）的全体原函数叫做不定积分，记为，因此，如果F（x）是f（x）的一个原函数，则＝F（x）＋C，其中C为任意常数。定积分概念的产生来源于计算平面上曲边形的面积和物理学中诸如求变力所作的功等物理量的问题。解决这些问题的基本思想是用有限代替无限；基本方法是在对定义域[a，b]进行划分后，构造一个特殊形式的和式，它的极限就是所要求的量。具体地说，设f（x）为定义在[a，b]上的函数，任意分划区间[a，b]:a＝x0＜x1＜…＜xn＝b，记，｜｜Δ｜｜＝，任取xi∈Δxi，如果有一实数I，有下式成立：，则称I为f（x）在[a，b]上的定积分，记为I＝f（x）dx。当f（x）≥0时，定积分的几何意义是表示由x＝a，x＝b，y＝0和y＝f（x）所围曲边形的面积。定积分除了可求平面图形的面积外，在物理方面的应用主要有解微分方程的初值问题和"微元求和"。

联系微分学和积分学的基本公式是：若f（x）在[a，b]上连续，F（x）是f（x）的原函数，则f（x）dx＝F（b）－F（a）。通常称之为牛顿-莱布尼兹公式。因此，计算定积分实际上就是求原函数，也即求不定积分。但即使f（x）为初等函数，计算不定积分的问题也不能完全得到解决，所以要考虑定积分的近似计算，常用的方法有梯形法和抛物线法。

微积分学是微分学和积分学的总称。

客观价值

客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。

由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，可以说它是继欧氏几何后，全部数学中的最大的一个创造。

微积分学的建立

古代

从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产生了。

公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的"天下篇"中，记有"一尺之棰，日取其半，万世不竭"。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到"割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。"这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。

十七世纪

到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。

十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。

牛顿

十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题（积分学的中心问题）。

牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。

牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程（积分法）。