笔下文学

2 对代数学介绍（第2页）

在出现普遍适用的代数符号之前，代数方程理论的发展是缓慢的、曲折的。花拉子米的《代数学》完全用文字叙述，使用起来很不方便。丢番图和印度数学家都使用过一些缩写文字和记号，但很不系统，没有被后人采纳。在12世纪以后欧洲的代数学文献中陆续出现过一些简写法，包括一些运算的表示，如用和表示"加"和"减"等。到15世纪末，开始使用现代符号"＋"和"－"来代替过去流行的繁琐语言表示数学运算。接着又有了幂及根式的符号，并且出现了括号。

符号代数学

最终确立是由法国数学家韦达完成的。他的《分析术入门》被西方数

欧拉

学史家推崇为第一部符号代数学。在本书中，他自觉地、系统地运用字母代替数字，用辅音字母表示已知数，用元音字母表示未知数。韦达还明确指出代数与算术的区别，前者是"类的算术"（施行于事物的类和形式的运算），后者是"数的算术"。于是代数学更带有普遍性，形式更抽象，应用更广泛。在稍后的工作里，韦达改进了三次、四次方程的解法。他还对n二2，3的情形，建立了方程的根与系数之间的关系，即现在被称为韦达定理的结果。后来笛卡儿改进了韦达创造的符号系统，用a，b，c，…表示已知量，x，y，z，…表示未知量。当代所使用的大多数代数符号到17世纪中叶已基本确立。

17－18世纪中期，代数学被理解为在代数符号上进行计算的科学，用来研究与解方程有关的问题。这个时期最好的教科书之一是欧拉的《代数学入门》（1770），其内容包括整数、分数和小数、方根、对数、一次到四次代数方程、级数、牛顿二项式和丢番图分析等，是对16世纪中期发展起来的符号代数学的系统总结。

18世纪对代数学的研究时常要服从分析学的需要，许多人甚至把分析看作

法国数学家拉格朗日

代数的延伸。其实这一时期代数学的发展为19世纪的革命性变化奠定了基础。高斯研究了复数及其运算的几何表示，给出代数基本定理的第一个证明（1799）。法国数学家拉格朗日、旺德蒙德和意大利数学家鲁菲尼等研究五次以上代数方程的解法，发现根的有理函数与根置换对方程性质的深刻影响，开始认识到五次以上的代数方程用根式求解的不可能性。

在19世纪，代数学发生了革命性的变革。首先是挪威数学家阿贝尔证明了（1824－1826）五次以上的一般代数方程不可能用根式求解，并实质上引进了域和在给定域中不可约多项式这两个概念。紧接着（1832），法国数学家伽罗瓦对于高次方程是否能用根式求解问题给出更彻底的解答。他引进了置换群的正规子群、数域的扩域、群的同构等概念，证明了由方程的根的某些置换所构成的群（即伽罗瓦群）的可解性是方程根式可解的充分必要条件。伽罗瓦的工作并没有立即为人们所了解和接受，直到1870年才由法国数学家若尔当在他的著作《置换与代数方程》中给出第一个全面而清晰的阐述，他还补充了自己的新成果，这部著作大大地推进了置换群论的研究。

代数通论

几乎与伽罗瓦的工作同时，英国数学家皮科克发表了他的《代数通论》（1

数学家伽罗瓦

830），其中对代数运算基本法则进行研究，试图建立一门更一般的代数，它仅是符号及其满足的某些运算法则的科学。英国数学家德o摩根和布尔在这方面也做出了重要尝试。这些工作预示了抽象代数学的产生。

另一项引起代数学变革的工作来自英国数学家哈密顿和德国数学家格拉斯曼，前者在1843年构造出第一个不满足乘法交换律的数学对象--四元数，后者则在1844年独立地得到更一般的具有n个分量的超复数理论。

在数论方面，由于对费马大定理的研究，德国数学家库默尔引进了"理想数"概念（1845－1847），在此基础上，戴德金发展了理想理论。这项工作不仅对代数数论的发展有着重要影响，而且开辟了抽象代数发展的道路。

在布尔的工作的影响下，英国数学家凯莱和西尔维斯特共同创立了代数型的理论，奠定了关于代数不变量理论的基础。这项工作也是引向抽象代数学建立的动力。

自19世纪初以来，引起代数学的变革并最终导致抽象代数学产生的工作还可以列举一些，这些工作大致可分属于群论、代数数论和线性代数这三个主要方面。到19世纪末，数学家们从许多分散出现的具体研究对象抽象出它们的共同特征来进行公理化研究，完成了来自上述三个方面工作的综合，代数学终于从方程理论转向代数运算的研究。近代德国学派对这一步综合的工作起了主要作用。自19世纪末戴德金和希尔伯特的工作开始，在韦伯的3卷巨著的影响下，施泰尼茨于1911年发表了重要论文《域的代数理论》，对抽象代数学的建立贡献很大。20世纪20年代以来，以A．E．诺特和阿廷以及他们的同事、学生们为中心，抽象代数学得到空前的发展。荷兰数学家范德瓦尔登根据A．E．诺特和阿廷的讲稿于20世纪30年代初写成《近世代数学》，综合当时抽象代数学各方面的工作于一书，对于抽象代数学的传播和发展起了巨大的推动作用。

抽象代数学是以研究数字、文字和更一般元素的代数运算的规律和由这些运算适合的公理而定义的各种代数结构的性质为其中心问题的。因此，抽象代数学对于全部现代数学和一些其他科学领域都有重要的影响。

随着数学中各分支理论的发展和应用的需要，抽象代数学得到不断的发展。在1933－1938年，经过G．D．伯克霍夫、冯o诺伊曼、坎托罗维奇和斯通等人的工作，格论确定了在代数中的地位。而自20世纪40年代中期起，作为线性代数的推广的模论得到进一步的发展并产生深刻的影响。泛代数、同调代数、范畴等新分支也被建立和发展起来。

在中国

抽象代数学的研究始于20世纪30年代。中国数学家已在许多方面取得了有意义的和重要的成果，其中尤以曾炯之、华罗庚和周炜良的工作更为显著。

现在，代数学因其特殊的重要性，已被纳入教材之中，作为一项重要的学科，在大学会系统的学习。