笔下文学

第三章 与傅立叶有关的科学概念（第1页）

第三章与傅立叶有关的科学概念

一傅立叶变换

定义

f（t）满足傅立叶积分定理条件时，下图①式的积分运算称为f（t）的傅立叶变换，

②式的积分运算叫做F（ω）的傅立叶逆变换。F（ω）叫做f（t）的象函数，f（t）叫做

F（ω）的象原函数。

傅里叶变换

①

傅里叶逆变换

②

中文译名

TransforméedeFourier有多种中文译名，常见的有"傅里叶变换"、"傅立叶变换"、"付立叶变换"、"富里叶变换"、"富里哀变换"等等。为方便起见，本文统一写作"傅里叶变换"。

应用

傅里叶变换在物理学、电子类学科、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。

概要介绍

概要参见：林家翘、西格尔著《自然科学中确定性问题的应用数学》，科学出版社，北京。原版书名为&L。A。Segel，MathematicsAppliedtoDeterministisiuralSces，MaewYork，1974。

*傅里叶变换属于谐波分析。

*傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似;

*正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;

*卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算，从而提供了计算卷积的一种简单手段;

*离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出（其算法称为快速傅里叶变换算法（FFT））。

基本性质

线性性质

两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和。数学描述是：若函数fleft（xright）和gleft（xright）的傅里叶变换mathcal[f]和mathcal[g]都存在，α和β为任意常系数，则mathcal[alphaf+betag]=alphamathcal[f]+betamathcal[g]；傅里叶变换算符mathcal可经归一化成为么正算符；

频移性质

若函数fleft（xright）存在傅里叶变换，则对任意实数ω0，函数f（x）e^{iomega_x}也存在傅里叶变换，且有mathcal[f（x）e^{iomega_x}]=F（omega+omega_0）。式中花体mathcal是傅里叶变换的作用算子，平体F表示变换的结果（复函数），e为自然对数的底，i为虚数单位sqrt；

微分关系

若函数fleft（xright）当|x|rightarrowinfty时的极限为0，而其导函数f'（x）的傅里叶变换存在，则有mathcal[f'（x）]=-iomegamathcal[f（x）]，即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子?iω。更一般地，若f（pminfty）=f'（pminfty）=ldots=f^{（k-1）}（pminfty）=0，且mathcal[f^{（k）}（x）]存在，则mathcal[f^{（k）}（x）]=（-iomega）^mathcal[f]，即k阶导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子（?iω）k。

卷积特性

若函数fleft（xright）及gleft（xright）都在（-infty，+infty）上绝对可积，则卷积函数f*g=int_{-infty}^{+infty}f（x-xi）g（xi）dxi的傅里叶变换存在，且mathcal[f*g]=mathathcal[g]。卷积性质的逆形式为mathega）G（omega）]=mathathega）]，即两个函数乘积的傅里叶逆变换等于它们各自的傅里叶逆变换的卷积，同时还有两个函数卷积的傅里叶逆变换等于它们各自的傅里叶逆变换的乘积。

Parseval定理

若函数fleft（xright）可积且平方可积，则int_{-infty}^{+infty}f^2（x）dx=frat_{-infty}^{+infty}|F（omega）|^domega。其中F（ω）是f（x）的傅里叶变换。