笔下文学

二 傅立叶变换的几何观点（第1页）

二傅立叶变换的几何观点

所谓"山寨"，即低门槛，不严谨，还有那么一些的浮躁。

文章尽量避免匪夷所思的词汇，虽然某些抽象词汇会使语言严谨而具有更高的概括性，但它们确实不够山寨。我们从三维空间出发，一路"导出"傅立叶变换的教科书定义。以此感受数学的美妙，自然造化的神气本文约定：（建议扫一眼然后跳过，用到了再回来看）由于博客网站编辑条件的限制，我只能用类似计算机程序的式子来表达本可以如艺术品一般美丽的数学表达式。如：

（x，y，z）－－－－－三维空间向量

－－－－－－－向量v，u之间的夹角

*－－－－－－－－－向量间的点积（参考向量点乘的定义）

本文中我们省略数量（标量）乘法的符号

－－－－－－－－－－除法运算

proj（x，y）－－－－－x在y上的投影

ex，ey，ez－－－－x轴，y轴，z轴上的单位向量

｜v｜－－－－－－－向量v的长度

（a）－－三角函数。

exp（a）－－－－－－e的a次方。

i－－－－－－－－－复数单位

j－－－－－－－－－指标，

如sigma（xj，j=1:n）pi－－－－－－－－－圆周率

sigma（xj，j=1:n）－对xi求和，j从1到n。int（f（x），y）－－－对f（x）在y上求积分，积下限为从负无穷到正无穷。最后请注意括号间的嵌套关系，我们不使用中括号和大括号

我们开始吧，请坚持住。

如果我们有一个三维空间中的向量v（a，b，c），那么我们可以把它看作三个向量的和，这三个向量分别是v在x轴上的投影，v在y轴上的投影和v在z轴上的投影。即v=proj（v，x）+proj（v，y）+proj（v，z）

你可以多选几个不同的向量v把它们画出来观察。从直观上，向量v越靠近哪个坐标轴，v在那个轴上的投影越大问题是如果我们知道了v＝（a，b，c）但我们如何求出v在各个坐标轴上的投影？也就是说如何求解proj（v，u）（u可以是三个坐标轴中的任意一个，也可以是其他任意向量）proj（v，u）=vcos（）;（参考余弦的定义和含义）proj（v，u）=v（v*u）（|v||u|）;（参考向量夹角的定义）由于|v||u|是两个数的积，其结果还是一个数，并且我们不打算继续研究这个积，所以用K来代替它，上式变为：proj（v，u）=v（v*u）K;

到此，我们看到proj（v，u）由三部分组成：v，（v*u），K我们要进行一次升华了，请系好安全带:）我们关注运算（v*u）这里（v*u）是一种人为定义的运算，注意到两点，1。*运算是人为义的，2。*运算不是任意定义的。

在向量中定义*运算为：v*u=（vx，vy，yz）*（ux，uy，uz）=（vxux，vyuy，vzuz）

接下来我们将会看到*运算的另一种定义f（x）*g（x）=int（f（x）g（x），x）

总之那些都是人为定义的，它们还会是其他的形式。

当然我们不能胡乱定义。以上*运算的两种形式其实都满足一些特定的运算性质，至于是哪些性质，我们就不再展开了，要保持山寨。数学家管那种*运算叫内积。好了我已经说得太多了。

顺便提一句，向量也是人为定义在一组运算性质之上的，只要是满足那些运算性质的对象，都可以叫向量。

对向量和*运算的讨论我们先暂停一下，待会儿再接着聊。现在让我们去请出今天的主角：傅立叶变换我们先来看一看三角函数系：{cos（0x），sin（0x），cos（1x），sin（1x），cos（2x），sin（2x），。。。，x），sin（nx）}。你尽管把三角函数系理解成一个以三角函数为元素的集合。当然实际情况没有那么山寨了。三角函数系是组成傅立叶级数的基础。而傅立叶变换多多少少，甚至直接和人们对傅立叶级数的研究有关系。我们往下看：我们可以把一个周期函数展开为傅立叶级数f（x）=a0cos（0x）+b0sin（0x）+a1cos（1x）+b1sin（1x）+。。。+anx）+bsin（nx）（是不是比课本上的展开单纯很多？但事实确实就是这样，怪罪你的课本吧）的问题当然是怎么确定aj和bj的大小了。aj=int（f（x）cos（jx），x）int（cos（jx）cos（jx），x）（j=0，1，2，。。。，n）bj=int（f（x）sin（jx），x）int（sin（jx）sin（jx），x）（j=0，1，2，。。。，n）故事发展到这里，傅立叶变换已经呼之欲出了。在此，我还没有能力去更进一步地探索傅里叶变换背后深刻和广泛分析理论。我们仅怀着虔诚的山寨精神，继续我们的故事。这里，我要给出一个简化的傅立叶变换的定义：g（u）=（1K）（int（f（x）cos（-2piux），x）+int（f（x）sin（-2piux），x））（K是一个常数）g（u）=（1K）int（f（x）（cos（-2piux）+sin（-2piux）），x）（函数积分的可加性）和课本上的定义式不大像是吧，但它说明问题。其中g（u）就是函数f（x）经过傅立叶变换后结果。我们加大放大倍数，仔细观察g（u）是如何得出的：g（u）=int（f（x）cos（ux），x）int（cos（ux）cos（ux），x）+int（f（x）sin（ux），x）int（sin（ux）sin（ux），x）结合上文aj，bj的求解公式，可以观察到g（u）实际上就是aj+bj。其中：int（cos（ux）cos（ux），x）=int（sin（ux）sin（ux），x）=piu是一个常数，我们把它当公因式提出来就是我们前面见到的K好了，我们手头上已经有充足的资料了。让我们看几个类比，以此来窥探问题的本质。这些类比都是建立在特定的运算性质基础之上，并不是信手拈来。

我们把一个向量v（a，b，c）看作是{ex，ey，ez}中元素的倍数组合而成的，即：v（a，b，c）=aex+bey+cez;同样我们把一个函数f（x）看作是{{cos（0x），sin（0x），cos（1x），sin（1x），。。。，x），sin（nx）}中元素的倍数组合而成的，而这里倍数的直观表现就是振幅。那么，f（x）=a0cos（0x）+b0sin（0x）+a1cos（1x）+b1sin（1x）+。。。+anx）+bnsin（nx）;

回顾上文

在向量中定义*运算为：v*u=（vx，vy，yz）*（ux，uy，uz）=（vxux，vyuy，vzuz）

*运算的另一种定义f（x）*g（x）=int（f（x）g（x），x）这个运算我们已经运用到了求解傅立叶级数aj，与bj上了。

不知不觉，我们忽略掉了两点内容，（1）f（x）的任意周期性，（2）f（x）分解的相位问题。而详细的探讨只会成为教课书，本文初衷，只想突出重点，像说历史一样说原理，结果，为了说明白问题，某种程度上还是落入了细节的窠臼，搞得思路好乱。

到此，我们再一次升华，请戴好安全帽:）我们把上文提到的傅立叶变换表达成课本中的形式。

当然，先让我们来点复数的概念。请原谅我那么做，这叫"不得不"。

对于复数z我们可以将其换种方式表达：z=rcos（x）+irsin（x）=rexp（ix）为什么有那么多等价的表达？那是因为番茄等于西红柿，不过它们都是建立在复数的运算性质之上的，你尽管承认。

现在我们回到傅立叶变换的定义上：g（u）=（1K）int（f（x）exp（-2ipiux），x）

我们把exp（-2ipiux）用正弦和余弦来表示，即：exp（-2ipiux）=cos（-2piux）+isin（-2piux）代入g（u）得：g（u）=（1K）int（f（x）（cos（-2piux）+isin（-2piux）），x）需要注意：g（u）是一个关于u的函数，通过改变u，我们可以取遍三角函数系，甚至更多。另一个小问题，在g（u）中我们引入了一个i，在此就让我们忽略它的存在把，至少本文作者目前认为那个i的引入只是为了运用复数运算性质将傅里叶变换换一种表达方式而已。而在入门教科书中用这种隐晦的表达方式是会妨碍对问题本质的揭示的。

到此，我们小结

所以，傅立叶变换就像三维空间的向量分解一样单纯，但它背后揭示出的是万物的联系性。这就是数学的玄妙，造物的玄机。

如果你什么都没明白，不要紧，只要没有像糟糕的数学课本，恶心的数学课堂那样，进一步扼杀你的数学积极性与数学天分，那么我就达到了写作本文的目的。面对数学，我懂，要说爱它不容易。