笔下文学

第五章 欧拉的主要研究成果（第4页）

当r=3时值为a+b+c

（2）复数

由e＾iθ=θ，得到：

sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）2i

cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）2

（3）三角形

设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：

d＾2=R＾2-2Rr

（4）多面体

设v为顶点数，e为棱数，f是面数，则

v-e+f=2-2p

p为欧拉示性数，例如

p=0的多面体叫第零类多面体

p=1的多面体叫第一类多面体

（5）多边形

设一个二维几何图形的顶点数为V，划分区域数为Ar，一笔画笔数为B，则有：

V+Ar-B=1

（如：矩形加上两条对角线所组成的图形，V=5，Ar=4，B=8）

（6）。欧拉定理

在同一个三角形中，它的外心ter、重心Gravity、九点圆圆心-ter、垂心Orthoter共线。

其实欧拉公式是有很多的，上面仅是几个常用的。

使用欧拉定理计算足球五边形和六边形数

问：足球表面由五边型和六边型的皮革拼成，计算一共有多少个这样的五边型和六边型？

答：足球是多面体，满足欧拉公式F－E＋V＝2，其中F，E，V分别表示面，棱，顶点的个数

设足球表面正五边形（黑皮子）和正六边形（白皮子）的面各有x个和y个，那么

面数F＝x＋y

棱数E＝（5x+6y）2（每条棱由两块皮子共用）

顶点数V＝（5x+6y）3（每个顶点由三块皮子共用）

由欧拉公式，x＋y－（5x+6y）2＋（5x+6y）3＝2，

解得x＝12。所以，共有12块黑皮子

所以，黑皮子一共有12×5＝60条棱，这60条棱都是与白皮子缝合在一起的

对于白皮子来说：每块白色皮子的6条边中，有3条边与黑色皮子的边缝在一起，另3条边则与其它白色皮子的边缝在一起。

所以白皮子所有边的一半是与黑皮子缝合在一起的

那么白皮子就应该一共有60×2＝120条边，120÷6＝20

所以共有20块白皮子

（或者，每一个六边形的六条边都与其它的三个六边形的三条边和三个五边形的三条边连接；每一个五边形的五条边都与其它的五个六边形的五条边连接

所以，五边形的个数x=3y5。

之前求得x=12，所以y=20）