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五 傅里叶分析（第1页）

五傅里叶分析

简介

傅里叶分析Fourieranalysis分析学中18世纪逐渐形成的一个重要分支，主要研究函数的傅里叶变换及其性质。又称调和分析。

详细信息

法国科学家J。-B。-J。傅里叶由于当时工业上处理金属的需要，从事热流动的研究。他在题为《热的解析理论》一文中，发展了热流动方程，并指出了任意周期函数都可以用三角基来表示的想法。他的这种思想，虽然缺乏严格的论证，但对近代数学以及物理、工程技术却都产生了深远的影响，成为傅里叶分析的起源。

由三角函数系｛nx｝（n=0，1，2，…）组成的无穷级数称为三角级数，其中αn，bn为系数，与x无关。若级数（1）对于一切x收敛，它的和记为?（x）：

则?（x）是一个具有周期2π的周期函数。上式两边分别乘以nx，并且在（0，2π）上同时积分，就得到公式上面的运算是形式的，因为符号Σ与积分的交换缺乏根据。为了保证上述运算的正确性，应当对级数（1）的收敛性加以必要的限制，例如一致收敛性等。但是，上面提供的纯形式运算，却提出了一个很有意义的问题:如果?（x）是一个给定的以2π为周期的周期函数，通过（3）可以得到一列系数αn，bn，从而可构造出相应的三角级数（1）。这样得到的三角级数（1）是否表示?（x）？正是傅里叶，他首先认为这样得到的级数（1）可以表示?（x）。

给定?（x），利用（3）得到的三角级数（1），称为?的傅里叶级数，而称（3）为?的傅里叶系数。这种思想可以推广到任意区间上的正交函数系。特别，（n=0，±1，±2，…）是［0，2π］上的规范正交函数系，函数?关于它的傅里叶级数为称为?的傅里叶级数的复形式。

发展概况

傅里叶分析从诞生之日起，就围绕着"?的傅里叶级数究竟是否收敛于?自身"这样一个中心问题进行研究。当傅里叶提出函数可用级数表示时，他的想法还没有得到严格的数学论证，实际的情形人们并不清楚。P。G。L。狄利克雷是历史上第一个给出函数?（x）的傅里叶级数收敛于它自身的充分条件的数学家。他的收敛判别法，后称为狄利克雷-若尔当判别法。他证明了在一个周期上分段单调的周期函数?的傅里叶级数，在它的连续点上必收敛于?（x）；如果?在x点不连续，则级数的和是（?（x+0）+?（x-0））2。顺便指出，狄利克雷正是在研究傅里叶级数收敛问题的过程中，才提出了函数的正确概念。因为在他的判别法中，函数在一个周期内的分段单调性，可能导致该函数在不同区间上的不同解析表示，这自然应当把它们看做同一个函数的不同组成部分，而不是像当时人们所理解的那样，认为一个解析表达式就是一个函数。

（G。F。）B。黎曼对傅里叶级数的研究也作出了贡献。上面说过，确定?的傅里叶系数，要用到积分式（3）。但是人们当时对积分的理解还不深入。黎曼在题为《用三角级数来表示函数》（1854）的论文中，为了使得更广一类函数可以用傅里叶级数来表示，第一次明确地引进并研究了现在称之为黎曼积分的概念及其性质，使得积分这个分析学中的重要概念，有了坚实的理论基础。他证明了如果周期函数?（x）在［0，2π］上有界且可积，则当n趋于无穷时?的傅里叶系数趋于0。此外，黎曼还指出，有界可积函数?的傅里叶级数在一点处的收敛性，仅仅依赖于?（x）在该点近旁的性质。这个非常基本而重要的结果称之为局部性原理。

G。G。斯托克斯和P。L。von赛德尔引进了函数项级数一致收敛性的概念以后，傅里叶级数的收敛问题进一步受到了人们的注意。H。E。海涅在1870年的一篇论文中指出，有界函数?（x）可以唯一地表示为三角级数这一结论，通常采用的论证方法是不完备的，因为傅里叶级数未必一致收敛，从而无法确保逐项积分的合理性。这样，就可能存在不一致收敛的三角级数，而它确实表示一个函数。这就促使G。（F。P。）康托尔研究函数用三角级数表示是否唯一的问题。这种唯一性问题的研究，又促进了对各种点集结构的探讨。G。康托尔第一次引进了点集的极限点以及导集等概念，为近代点集论的诞生奠定了基础。

K。（T。W。）外尔斯特拉斯在1861年首次利用三角级数构造了处处不可求导的连续函数。他的这一发现震动了当时的数学界，因为长期的直观感觉使人们误认为，连续函数只有在少数一些点上才不可求导。

20世纪以来的发展

勒贝格积分理论

20世纪初，H。L。勒贝格引入了新的积分与点集测度的概念，对傅里叶分析的研究产生了深远的影响。这种积分与测度，现在称为勒贝格积分与勒贝格测度，已成为数学各分支中不可缺少的重要概念和工具。勒贝格用他的积分理论，把上面提到的黎曼的工作又推进了一步。例如，根据勒贝格积分的性质，任何勒贝格可积函数的傅里叶级数，不论收敛与否，都可以逐项积分。又例如，对于［0，2π］上勒贝格平方可积的函数，帕舍伐尔等式成立；

傅里叶级数，特别是连续函数的傅里叶级数，是否必处处收敛？1876年P。D。G。杜布瓦－雷蒙首先发现，存在连续函数，它的傅里叶级数在某些点上发散；后又证明，连续函数的傅里叶级数可以在一个无穷点集上处处发散。这反面结果的发现提醒人们对傅里叶级数的收敛性应持审慎态度。

费耶尔求和法

正是基于上述原因，1904年，匈牙利数学家L。费耶尔首次考虑用部分和的算术平均代替级数的部分和，证明了傅里叶级数部分和序列的算术平均，在函数的连续点上，必收敛于函数自身。这样，通过新的求和法，又能成功地用傅里叶级数表达连续函数。这无疑是傅里叶级数理论的一个重要进展。费耶尔之后，各种求和法相继产生。一门新的学科分支，发散级数的求和理论，就此应运而生。

卢津猜想

与此同时，傅里叶级数几乎处处收敛的问题，特别是所谓的卢津猜想，受到人们的重视（见卢津问题）。瑞典数学家L。卡尔森用十分精巧的方法，才证实了这一猜想的正确性。

复变函数论方法

傅里叶级数与单位圆内解析函数的理论有着非常密切的联系。假设（1）是可积函数?的傅里叶级数，简单的计算表明，它是复变量z的幂级数

（5）

的实部。另一方面，级数（5）是单位圆内的解析函数，记为F（z）。这样，傅里叶级数（1）可以通过单位圆内解析函数的理论来研究。这就是傅里叶分析中的复变函数论方法，它是20世纪前半叶研究傅里叶级数的一个重要工具。

经典的H空间概念

进一步的研究导致G。H。哈代以及F。（F。）里斯兄弟建立单位圆上H空间的理论。他们研究了单位圆内使有界的解析函数F（z），这里0